Muchas cantidades que son de interés en Física, tienen ambas características: son cantidades direccionadas (vectores), y pueden tomar un rango continuo de valores, con lo que se hace necesario los métodos del Cálculo. De particular importancia en la resolución de problemas físicos son las siguientes operaciones del campo matemático del Cálculo Vectorial.
Gradiente
El gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo. En coordenadas rectangulares el gradiente de la función f(x,y,z) es:
Si S es una superficie de valor constante, para la función f(x,y,z), entonces el gradiente sobre la superficie, define un vector que es normal a la superficie.
- En coordenadas rectangulares:
- En coordenadas polar cilíndrica :
- En coordenadas polar esférica :
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero.
La divergencia de un campo vectorial
en coordenadas rectangulares se define como el producto escalar del operador nabla por la función
La divergencia es una función escalar del campo vectorial. El teorema de la divergencia es una herramienta matemática importante en la Electricidad y el Magnetismo.
En coordenadas rectangulares:
En coordenadas polar cilíndrica:
En coordenadas polar esférica:
Rotacional
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de un espacio vectorial (R3) que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
El rotacional de un campo vectorial se define como la capacidad de un vector de rotar alrededor de un punto. También es definido como la circulación del vector sobre por un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a ser cero.
Es como ver la dirección del giro al colocar un objeto dentro del campo vectorial.
El rotacional de una función vectorial es el producto vectorial del operador Nabla con una función vectorial:
donde i,j,k son los vectores unitarios en las direcciones x, y, z. Tambien se puede expresar en la forma de un determinante:
El rotacional en un sistema de coordenadas polar cilíndrica, expresado en la forma de un determinante es:
El rotacional en un sistema de coordenadas polar esférica, expresado en la forma de un determinante es:
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